1.分段多项式空间（Piecewise Polynomial Spaces）

1.1线性多项式空间（The Space of Linear Polynomials）

令$I=[x_0,x_1]$是实轴上的一个区间，并令$P_1(I)$代表$I$上线性函数的向量空间，定义为：
$$
P_1(I)={v:v(x)=c_0+c_1x,x\in I,c_0,c_1\in \mathbb{R}}.\tag{1.1}
$$
也就是说，$P_1(I)$包含了$I$上所有形式为$v(x)=c_0+c_1x$的函数。

可能$P_1(I)$ 最自然的基是单项式基底 ${1,x}$。因为$P_1(I)$中的任何函数$v$都可以表示为1和$x$的线性组合。也就是说，一个常数$c_0$乘1加上另一个常数$c_1$乘$x$，在这样做的过程中，$v$很清晰的被两个系数$c_0$和$c_1$（所谓的线性组合系数）所决定。事实上，我们称：$v$有两个自由度

1.2 有限元法

有限元法本质是一种用于解决偏微分方程描述或可描述为函数最小化问题的数值技术。
将感兴趣的区域表示为有限元的集合，有限元中的近似函数是根据所求的节点值确定的，将连续问题转化为节点值未知的离散有限元问题，有限元区域内的值可以用节点恢复。
对以下ODE问题：
$$a\frac{d^2u}{dx^2}+b=0$$
有初边值条件：
$$\begin{cases}
u|_{x=0}=0\\
a\frac{du}{dx}|_{x=2l}=0
\end{cases}$$